\documentclass[]{article}
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%opening
\title{$关于一种类布尔矩阵的构造及其性质的一些探讨(草稿)$}
\author{$陈晖$}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
$本文希望找到一种直观的，可以图示的数学工具。$
$本文设想用现成的线性代数的成果，做精简工作，把数域限定在{0,1}这两个数，把运算限定成一种，得到更加简化的类布尔矩阵代数。这样的矩阵可以可视化为黑白图片，便于呈现。$
$本文探讨这样的类布尔矩阵代数的构造过程及其一些性质。$
$本文的探讨是基于经验的，尚未严格证明$
\end{abstract}

\section{$构造$}
	\subsection{类布尔数值及其运算}
	\subsubsection{定义}
	$把数域限定在 {0,1} 这两个数，可以理解成正负（线性代数在实数或者更复杂的复数上运算）。$
	$（为了方便，用 {0,1} 表示这个数域，只有两个取值：0,1）$
	\subsubsection{运算}
	把运算限定成一种 $\otimes$（线性代数有加法和乘法）:\\
			1$\otimes$0=0;  0$\otimes$1=0;\\
	1$\otimes$1=1;  0$\otimes$0=1\\
	（相当于正负得负，负负得正，负正得负，正正得正。\\当参与运算的两个布尔值相同时结果为正，不同时结果为负）
	\subsubsection{猜想}
	(猜想) $\otimes$ 运算应该可以满足交换率以及结合率，也就是说计算顺序不重要，结果仍然相同。可以用归纳法证明。
	\subsection{类布尔向量}

	\subsubsection{定义}
	类似地可以定义向量，比如：
V1=[0,0,1]，V2=[1,0,1]，这两个是三阶的向量。
	\subsubsection{壹向量，零向量}
		\paragraph{定义}
形如[1,1,1,1,1] 为壹向量(5阶) ，形如[0,0,0] 为零向量(3阶)

	\subsubsection{运算}
		\paragraph{类布尔数值 $\otimes$ 类布尔向量}
		\qquad\\
		
	对于 x $\in$[0,1],V=[a1,a2,a3] , ($a_{i}$$\in$[0,1] ):\\
		x$\otimes$V=[x$\otimes$a1,x$\otimes$a2,x$\otimes$a3]
				\subparagraph{例:}
		0$\otimes$[1,0,1]=[0,1,0]
		\paragraph{类布尔向量 $\otimes$ 类布尔向量}
		\qquad\\
		定义相同阶数向量之间的运算，比如:
				V1=[a1,a2,a3],V2=[b1,b2,b3]\\
		$a_{i},b_{i}\in$[0,1] 那么:\\
		V1$\otimes$V2\\
		=$\{ $
		$\begin{array}{cc} 
			1   $如果对应的a$\otimes$b, 结果为正的居多数$\\
			0   $如果对应的a$\otimes$b, 结果为负的居多数$\\
		\end{array}$
	$\}$




	
	\subsection{类布尔矩阵}
	\subsubsection{定义}
	每个单元为类布尔数值的矩阵为类布尔矩阵
\\
	形如\\
		$\begin{bmatrix}
	1 & 0 &1\\
	0&1&1\\
	1&0&0
	\end{bmatrix}$ 的矩阵为类布尔矩阵
	\subsubsection{转置矩阵}
	$设类布尔矩阵$\\
		A=	$\begin{bmatrix}
		1 & 0 &1\\
		0&1&1\\
		1&0&0
		\end{bmatrix}$, 那么转置矩阵\\
		\qquad\\
		$A^{T}$=$\begin{bmatrix}
		1 & 0 &1\\
		0&1&0\\
		1&1&0
		\end{bmatrix}$

	
	\subsubsection{壹矩阵，零矩阵}
	类似壹向量，零向量，每个单元均为1或0的类布尔矩阵分别为壹矩阵，零矩阵：
\\

	壹矩阵 $\mathbb{I}$  形如  :\\
		$\begin{bmatrix}
	1 & 1 &1\\
	1&1&1\\
	1&1&1
	\end{bmatrix}$\\
	\qquad\\
	零矩阵 $\mathbb{O}$  形如 :\\
			$\begin{bmatrix}
	0 & 0 &0\\
	0&0&0\\
	0&0&0
	\end{bmatrix}$
	
	\subsubsection{运算}
	
	\paragraph{类布尔数值  $\otimes$ 类布尔矩阵}
			类似线性代数，定义类布尔数值  $\otimes$ 类布尔矩阵运算。例如:\\
	设 x $\in$[0,1],  A= $\begin{bmatrix}
	a11 & a12\\
	a21 & a22
	\end{bmatrix}$\\
	\qquad\\
	则 x$\otimes$A\\
	=$\begin{bmatrix}\\
	x$$\otimes$$a11 & x$$\otimes$$a12\\
	x$$\otimes$$a21& x$$\otimes$$a22
	\end{bmatrix}$
	\paragraph{类布尔矩阵  $\otimes$ 类布尔向量}
	定义类布尔矩阵  $\otimes$ 类布尔向量运算。例如:\\
	设 A
	=$\begin{bmatrix}\\
	a11 & a12\\
	a21 & a22 
	\end{bmatrix}$, V=[b1,b2]\\
	\qquad 则：\\
	A$\otimes$V\\
	=$\begin{bmatrix}
	[a11,a12]$$\otimes$$[b1,b2]\\
	[a21,a22]$$\otimes$$[b1,b2]
	\end{bmatrix}$
	\paragraph{类布尔矩阵  $\otimes$ 类布尔矩阵}
	定义类布尔矩阵  $\otimes$ 类布尔矩运算。例如：\\
						设	A
	=$\begin{bmatrix}\\
	a11 & a12\\
	a21 & a22 
	\end{bmatrix}$,
	B
	=$\begin{bmatrix}\\
	b11 & b12\\
	b21 & b22 
	\end{bmatrix}$,\\
	\qquad\\
	\qquad 则： \\
	A$\otimes$B\\
	=$\begin{bmatrix}
	[a11,a12]$$\otimes$$[b11,b21] & [a11,a12]$$\otimes$$[b12,b22]\\
	\qquad\\
	[a21,a22]$$\otimes$$[b11,b21] &
	[a21,a22]$$\otimes$$[b12,b22]
	\end{bmatrix}$
	
	\section{性质}
	\subsection{类线性相关}
		\subsubsection{定义}
		两个同阶的向量V1，V2，数值x$\in${0,1}. \\
		若
		x$\otimes$V1=V2
, 则V1与V2线性相关
	\subsection{类布尔矩阵的秩}
		\subsubsection{定义}
		类布尔矩阵A，每行看做一个向量
		Rank(A)= R-P\\
		R:A的行数, P: 相关的向量对数
\\
	
			\paragraph{例如:}
		\qquad\\
		A=$\begin{bmatrix}
		0 & 1 & 1 & 0\\
		1& 0 & 0 & 1\\
		1 & 0 & 1 & 0 \\
		1 & 1 & 0 & 1
		\end{bmatrix}$, \\
		由于第一行和第二行存在线性相关：\\ 0$\otimes$[0,1,1,0]=[1,0,0,1]。 \\
		所以相关的向量对数为1 。因此秩\\
		Rank(A) = 4 - 1 =3
	\subsection{类特征值，特征向量}
		\subsubsection{定义}
	对于类布尔矩阵A，存在类布尔数值 x$\in$[0,1], 类布尔向量V , 下面等式成立： \\
	A$\otimes$V=x$\otimes$V  \\
	则称V为A的特征向量，x为A的特征值。
	\paragraph{例如:}
	A=$\begin{bmatrix}
	1 &0 &1\\
	0 &0 & 1\\
	1&0 & 0
	
	
	\end{bmatrix}$, 
	V=$\begin{bmatrix}
	0\\
	1\\
	0
	\end{bmatrix}$ , x =1 \\
	等式 A$\otimes$V=x$\otimes$V  成立,因此：\\
	这个矩阵的特征值为1，特征向量为[0,1,0]
	\subsection{类布尔矩阵 $\otimes$ 相应转置类布尔矩阵}
	类布尔矩阵 $\otimes$ 相应转置类布尔矩阵=相应壹方阵\\
	A(mxn 布尔矩阵) $\otimes$ $A ^{T}$ (nxm 布尔矩阵) = $\mathbb{I}(nxn 壹矩阵)
\end{document}
